(PDF) Física cuántica COMPLETO - Robert Martin Eisberg, Robert Martin Resnick - DOKUMEN.TIPS (2023)

fsica cunticaTOMOS, MOLCULAS, SLIDOS, NCLEOS Y PARTCULAS

Eisberg Resnick

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MTEMAS QUE TRATA LA OBRA:

- Radiacin trmica y el postulado de Planck

- FotonesPropiedades corpusculares de la radiacin

- Postulado da BrogliePropiedades ondulatorias de laspartculas

- Teora de Schrdinger de la mecnica cuntica

- tomos con un electrn

- Momentos magnticos dipolares, spiny razones de transicin

- tomos multielectrnicosEstados base y excitaciones de rayosX

- tomos multielectrnicosExcitaciones pticas

- Estadstica cuntica

- Molculas

- SlidosConductores y semiconductores

- SlidosSuperconductores y propiedades magnticas

- Modelos nucleares

- Partculas elementales

- Apndices de Ja A a la N

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fsica. cunticaTOMOS, MOLCULAS, SOLIDOS, NUCLEOS Y PARTICULAS

Robert EisbergU niversidad d e Californ ia , Santa Brbara

y

Robert ResnckInslifulo P o litcn ico P en sse lacr

VA LIMUSANORIEGA EDITORES

M X IC O Espaa Venezuela * Colombia

B&K

V e r s i n a u t o r iz a d a e n e s p a o l d e la o b raPUBLICADA EN INGLS CON EL TTULO!QUANTUM PHYSICS OF ATOMS,MOLECULES.SOLIDS, NUCLEI AND PARTIOLES J o h n W ile y & S o ns , In c .

C o l a b o r a d o r e n la t r a d u c c i n :LEONEL COTAARAIZAFsico in v e s t ig a d o r en e l I n s t i t u t o de F s ic a yPRO FESO R EN LA FACULTAD DE C lEN C IA S DE LAU n iv e r s ida d N a c io n a l A u t n o m a d e M x ic o . M a e s t r a y d oc t o r a d o e n f s ic a d e s o l id o s p o rla U n iv e r s ida d d e W a r w ic k , In g l a t e r r a ..

R e v is i n :GUILLERMO AGU1LAR SAHAGND o c t o r en f s ic a .In v e s t ig a d o r en e l In s t it u t o d eF s ic a y p r o fe s o r en la F a c u lt a d d e C ie n c ia s d e laU n iv e r sid a d N a c io n a l A ut n o m a d e M x ic o .

L a p r e s e n t a c i n y d is p o s ic i n en c o n ju n t odf.

FSICA CUNTICA. to m o s , MOLCULAS,S L ID O S , N C L E O S Y PA R T C U L A S

SON PROPIEDAD DEL EDITOR. NlNGUNA PARTE DE ES AOBRA PUEDE SERREPRODUCIDA O TRANSMITIDA, MEDIANTE NINGN SISTEMA O MTODO.ELECTRONICO O MECNICO (INCLUYENDO EL FDTOCOPAOO, LA GRABACIONOCUALQUIER SISTEMA DE RECUPERACION Y ALMACENAMIENTO DE INFORMACIN),SIN CONSENTIMIENTO PORESCRITO DEL EDITOR.

D e r e c h o s r e s e r v a d o s :

2000. EDITORIAL LIMUSA, S.A. de C.V.GRUPO NORIEGAEDITORESBalderas 9 5 , M xico , D F.C P . 0 6 0 4 0' t (5 )5 2 1 -2 1 - 0 5

0 1 ( 9 0 0 ) 7 - 0 6 - 9 1 - 0 0( B l ( 5 )5 1 2 - 2 9 - 0 3wlimosa nonega.com mxi www.noriega.com.mx

C A N IE M N u m . 121

D e c im o q u in t a r e im p r e s i n

H e c h o en M x ic oISBN 968-16-0419-8

B&K

Prlogo

El propsito bsico de este libro es presentar el estudio claro yvlido de las propiedades de la gran mayora de los sistemas cunticosimportan tes desde el punto de vista de la mecnica cunticaelemental. Slo se desarrolla la mecnica cuntica necesaria paracumplir este fin. Por lo tanto, hemos decidido hacer nfasis en lasaplicaciones de la teora ms que en la teora misma. De esta manera,esperamos que el libro se adapte bien a las necesidades de losestudiantes contemporneos en un curso que trate sobre los fenmenosde Ja fsica cuntica. A la vez que los estudiantes adquieren unaperspectiva de las grandes aplicaciones de la mecnica cuntica, severn motivados a aprender ms acerca de La teora. Por lo tanto,esperamos que el libro tambin se adapte bien a un curso que vavaseguido por otro ms avanzado sobre mecnica cuntica formal.

En principio, el libro est pensado para usarse en un curso anualcon estudiantes que ya hayan estudiado los conceptos elementalesdel clculo diferencial e integral v la fsica clsica que losutiliza, aunque tambin se puede usar en cursos ms cortos. En loscaptulos del 1 al Ase presentan los distintos fenmenos de la fsicacuntica moderna y se desarrollan las ideas esenciales de la teoracuntica antigua. Estos captulos se pueden cubrir muy rpidamente,sobre todo con aquellos estudiantes que bar recibido unaintroduccin previa a la fsica cuntica. La clave de la mecnicacuntica y sus aplicaciones a Jos tomos con uno y dos electrones seencuentra en Jos captulos del 5 al R y las cuatro primerassecciones del captulo 9. Es posible cubrir bien esta parte en menosde un semestre. Por lo tanto, el profesor puede formar una granvariedad de cursos cortos aadiendo a este material central algunosde los lemas que se presentan de manera independente en otroscaptulos como son: tomos inullielec- Irnicos y molculas, estadsticacuntica y slidos, ncleos y partculas,

Los profesores (pie requieren un tratamiento similar de lamecnica cuntica, pero ms exlensn v a mayor nivel, y quienes puedanusar un tratam iento ms formal de las aplicaciones de la teora,pueden u sa ren vez de este lihro el texto "FUNDAM ENTOS DE FISICAMODERNA por Robert Eisherg {Editorial LIMUSA, 1973). A los profesores que requieran nn estudio ms completo de la relatividadespecial que el que se expone en

5B&K

6 (ROI OCjQ

(.4 apndice A, pero sim ilar en nivel y estilo pedaggico al presen tado en este l ibro , les reeo me miamos usar com o com plemento el texto " IN T R O D U CCIO N A LA TKORIA E SPEC IA L DE LA RE L A T IV ID A D " por Roherl Resniok (Editorial LIM LSA,1977).

M ediante un experim ento que consisti en realizar p ruebas intensivas con los a lu m n o s de nuestras respectivas insl t ildones as como en otras cu a tro esencias desarrollarnos u n aserie de ediciones prelim inares. D u ran te este proceso R obertEisberg com plet este libro m edian te una revisin exliausliva y un a ex tens in considerab le de la ltim a edicin preliminar. Por lotan to , l es el au to r principa! de esta obra. P o r su pa ite .Kobeit kesmek ha Lomado la iniciativa de revisa: y extender laultim. edicin preliminar con el fin de p iepa ta r el m anuscritopura un libro di: fsica m oderna a u n nivel u n poco inferior. Portanto, l sera ese au to r principal de este libro.

Las carac ters ticas pedaggicas del libro, a lgunas de lascuales no se en cu en tran por lo general en libros de este nivel,dem ostra ron ser muy eficientes cuando se probaron en el aula.Estas caractersticas son : descripciones detalladas al principio decaria captu lo , num erosos ejemplos resueltos, seccionesopcionales en los captu los y apndices tambin opcionales: re smenes y tablas, co n ju n to s de p regun tas al final de cadacaptulo y con junto? extensos y variados de problemas cu idadosamente verificados al final de cada captulo con snben n ju n to s derespuestas al final del libro. Por lo tanto , pensamos que estelibro es adecuado tan to para cursos de autoapj 'endu.ajr como paracursos autorregiilados.

l iem os empleado el sis tem a de unidades M KS (o SI) pero deura m anera flexible, donde la experiencia en un campo particu la rlo indica se bar utilizado unidades a lternativas .

Es una gran satisfaccin expresar nu es tro agradecim iento a losD octores Harriet Forsler , Ruste!! llobbie , S tua r t M eyer, Gerhard Saiingcr y Paul Yergin por sus revisiones construc tivas ,al D octo r David Syledlow por su ayuda en la evaluacin v solucin dlo s problem as, al D octo r Benjamn Cbi por su ayuda con lasliguras, al seor Dimald Deneck por su ayuda editorial y a lasseoras Cnssie Young y Carolyn C lem ente por el trabajo demecanografa y o tros servicios secretariales.

Santa Brbara, Gal forma Trov, Nueva York

R ofm t Fisberp Rohr.ri Resnick

B&K

Contenido

1

R a d ia c i n trm ica y e l p o s tu la d o d e P la n c k17

1-1 Introduccin 191-2 Radiacin trmica 191-3 Teora clsica de lacavidad radiante 241-4 Teora de Planck de la cavidad radiante 311-5Aplicacin de la ley de Planck de la radiacin en termometra 381-6 Elpostulado de Planck y sus implicaciones 391-7 Breve historia delquantum 41

2F o to n e s P r o p ie d a d e s c o r p u s c u la r e s d ela r a d ia c i n 4 5

2-1 Introduccin 472-2 El efecto fotoelctrico 472-3 Teora cunticade Enstcn dd dedo oioddeo 502-4 El efecto Compton 552-5 Naturalezadual de la radiacin electromagntica 612-6 Fotones y emisin de rayosX 622-7 Produccin y aniquilacin de pares 652-8 s Seccionestransversales para absorcin y dispersin de fotones 70

P o s tu la d o d e d e B r o g lie . P r o p ie d a d e s o n du la to r ia sd e la s p a r tc u la s 7 9

3-1 Ondas de materia 813-2 Dualidad onda-partcula 883-3 Elprincipio de incertidumbre 913-4 Propiedades de las ondas demateria 953-5 Algunas consecuencias del principio de incertidumbre1053-6 Filosofa de la teora cuntica 106

7

8 CONTENIDO

4

4-14-24-34-44-54-64-74-84-94-104-114-12

5-15-2

5-35-45-55-65-75-8

6-16-26-36-46-56-66-76-86-96-10

7-17-2

M od elo a t m ico d e B o h r

Modelo de Thomson 115M odelo d e R u th e r f o r d 119E stab il id ad del to m o n u c le a r 126E s p e c t ro s a t m ic o s126P o s tu la d o s de B o h r 129M odelo de B o h r 130C o r re cc i n po r m asa n u c le a r f in i ta 136E s ta d o s de ene rg aa t m ic a 139I n te r p r e ta c i n de las reg las de c u a n tiz a c i n 142M odelo de S o m m e rfe ld 146El p r in c ip io de co r r e s p o n d e n c ia 149U n a c r t ic a a la t e o r a c u nt i c a a n t ig u a 151

5T e o r a d e S c h r d in g e r d e la m ec n ic a cu ntica

I n t r o d u c c i n 159A r g u m e n to s de p laus ib il idadq u e c o n d u c e n a la e c u a c i n de S c h r d in g e r 162In te r p r e ta c i n de B orn de las f u n c io n e s d e o n d a169V alo res de e x p e c ta c i n 176La e c u a c i n de S c h r din g e r in d e p e n d ie n te del t iem p o 187P ro p ie d a d es re q u e r id a s p a ra las e ig e n fu n c io n e s 192C u a nt iz a c i n de la en e rg a en la te o r a de S c h r d in g e r194R e s u m e n 203

6S o lu c io n e s a las e c u a c io n e s d e S c h r d in g er

in d e p e n d ie n te s d e l tiem p o

In t ro d u c c i n 217El p o ten c ia l c e ro 218P o te n c ial e sca l n (ene rg a m e n o r q u e la a l tu r a del esca ln ) Po te n c ia l e sca l n (energ a m a y o r q u e la a l tu r a dele sca l n )La b a r r e r a de p o ten c ia l 2 4 0E jem p lo s dep e n e t r a c i n d e b a r re ra por p a r t c u la s 247P o ten c ia l de pozo c u a d ra d o 251P o te n c ia l de pozo c u a dra d o in f in i to 257P o te n c ia l de o sc i lad o r a rm n ico s im p le 265R e su m e n 2 6 9 _

A tom os c o n u n e le c tr n

In t ro d u c c i n 2 7 9D esa rro l lo de la e c u a c i n de Sc h r d in g e r 280

1 1 3

1 5 7

2 1 5

2242 3 4

277

CONTENIDO 9

7-3 S eparac in de la ecu ac i n in d e p e n d ie n te del tiempo 2827-4 So luc in de las ecu ac io n es 2847-5 E igenva lo res ,nmeros cunticos y degeneracin 2867-6 E ig en fu n c io n es 2897-7D ensidades de probabilidad 2927-8 Im pulso an g u la r orbita l3037-9 E cuac iones de e igenva lo res 308

8M om entos m agn tico s d ip o la res, sp in y

razones d e tran sic in

8-1 In t ro d u c c i n 3178-2 M om en tos m agnticos d ipo lares orb ita les 3178-3 E x p e r im en to de S te rn -G erlach yspn del e lec tr n 3228-4 In te ra c c i n sp n - rb ita 3288-5 Mom en to ang u la r to ta l 3318-6 E nerg a de in te racc i n sp n- rb ita y niveles de energ a

del h id rgeno 3358-7 Razones de t rans ic in y reglas de seleccin 3408-8 C om parac in e n t re las teo ras cu n t icas an t ig ua y m o d e rn a 347

9A tom os m u ltie lec tr n ico s-e sta d o s base y

e x c ita c io n e s d e rayos X

9-1 In tro d u c c i n 3559-2 P a r t c u la s idn ticas 3569-3El p r incip io de exc lus in 3629-4 El tom o de helio y lasfuerzas de in te rcam bio 3659-5 T eora de H ar tree 3749-6 R esultados de la teo r a de H ar tree 3789-7 Estados base de tom os m ult ie le c tr n ic o s y la tabla

perid ica 3859-8 E sp ec tro s de lneas de rayos X 393

10

A tom os m u ltie le c tr n ic o s -e x c ita c io n e s p ticas

10-1 In t ro d u c c i n 40710-2 A tom os a lca l inos 40810-3 Atom os con varios e lec tro n es p t icam en te activos10-4 Acoplam ien to LS 41610-5 Niveles de energ a del tom o de ca rb o no 42210-6 El e fec to Z eem an 42510-7 R esum en 432

3 1 5

3 5 3

405

10 CONTENIDO

11-1m11-311-411-511-6

11-711-811-911-101 1 - 1 1

11-1211-13

12-112-212-312-412-512-612-712-812-9

13-113-213-313-413-513-613-713-813-9

11

E sta d s tic a cu n tica

I n t r o d u c c i n 4 3 9IndslinguibiMad y esadsica cuntica440F u n c io n e s de d i s t r ib u c i n c u n t i c a s 44 4C om p a ra c i n d e las fu n c io n e s de d i s t r ib u c i n 4 47C a lo r e spec f ico de u n s lido c r i ta l in o 452La d is t rib u c i n de B o l tzm an n com o u n a a p ro x im a c i na las di s t r ib u c io n e s c u n t ic a s 4 5 6El lser 45 7Gas de foto n e s 463Gas de fo n o n e s 4 6 4C o n d e n sa c i n de Bose yHelio l qu ido 465El gas de e le c t ro n e s l ib res 471P o ten cia ] de c o n ta c to y em is i n te rm i n ic a 4 7 4D e sc r ip cio n e s c ls ica y c u n t i c a del e s ta d o deun s is te m a 47 6

12

M o lcu la s

I n t ro d u c c i n 485E n laces i n ico s 485E n laces c o v ale n te s 4 8 8E sp e c t ro s m o le c u la re s 492E sp e c t ros ro ta c io n a le s 493E sp e c t ro s v ib ro - ro ta c io n ale s 496E sp e c t ro s e le c t r n ic o s 5 0 0El e fec to R a ma n 503D e te rm in a c i n del sp n n u c le a r y c a ra c te r st ic a s de s im e tr a 504

13S lid o s C o n d u cto re s y s e m ic o n d u c to r e s

I n t r o d u c c i n 515T ipos de s lidos 515T e o r a de b and as d e los s lidos 517C o n d u c c i n e lc tr ica en m e ta les 522M odelo c u n t ic o del e le c t r n l ib re 524M o v im iento de e le c t ro n e s e n u n a red p e r id ica 530M asa e fec tiv a 5 3 4S e m ic o n d u c to re s 538D ispo s i t iv o s s e mic o n d u c to re s 544

437

4 8 3

5 1 3

CONTENIDO 1 1

14S l id o s S u p e r c o n d u c to r e s y p r o p ie d a d es

m a g n tic a s

14-1 S u p e r c o n d u c t iv id a d 55714-2 P r o p ie d a de s m a g n t ic a s de s l id o s 5 6 614-3 P a r a m a g n e t is m o 5 6 714-4 F e r r o m a g n e t i s m o 57114-5 A n t i f e rr o m a g n e t i s m o y f e r r im a g n e t i s m o 577

15M o d elo s n u c le a r e s

15-1 I n t r o d u c c i n 58515-2 G e n e ra l id a d e s s o bre a lg u n a s p ro p ie d a d e s

n u c le a r e s 58715-3 D im e n s io n e s y d e n s id a d es n u c le a r e s 59115-4 M asas n u c le a r e s y s u s a b u nd a n c ia s 59515-5 M o d e lo d e g o ta 6 0 415-6 N m e r o s mg ico s 6 0 715-7 M o d e lo del gas de F e rm i 6 0 915-8 M o d elo d e cap as 6 1 215-9 P r e d ic c io n e s de l m o d e lo de ca p a s 6 1 815-10 M ode lo c o le c t iv o 6 2 215-11 R e s u m en 6 2 8 |

D e c a im ie n to n u c le a r y r e a c c io n e s n u c le ar e s

16-1 I n t r o d u c c i n 63516-2 D e c a im ie n to Alfa 63516-3 D e c a im ie n to B e ta 64216-4 I n t e r a c c i n p o r de c a im ie n to B e ta16-5 D e c a im ie n to G a m m a 6 6 016-6El e fe c to M s s b a u e r 66616-7 R e a c c io n e s n u c le ar e s 6 6 916-8 E s ta d o s e x c i ta d o s de los n c le o s16-91 F is i n y r e a c to r e s 6 8 316-10 F u s i n y o r ig e n d elos e le m e n to s

17-1 I n t r o d u c c i n 70117-2 F u e rz a s n u c le n ic as 70117-3 Iso sp n 7 1 517-4 P io n e s 71717-5 M u o n e s 7 2517-6 E x t r a e z a 7 2 7

653

67 9

68817

P a r tc u la s e le m e n ta le s

5 5 5

5 8 3

6 3 3

699

1 2 CONTENIDO

17-7 I n t e r a c c io n e s f u n d a m e n ta l e s y le y es de c o n s e r v a c i n 732

17-8 F am il ia s d e p a r t c u la s e le m e n ta le s 7 3617-9 H ip e rc a rg a y C u a r k s 7 3 9

A p n d ic e AT e o r a e s p e c ia l d e la re la tiv id ad

A p n d ic e BR a d ia c i n d e u n a ca rg a a c e le r a da

A p n d ic e C D is tr ib u c i n d e B oltzm an ri

A p n d ic e DT r a y e c to r ia s e n la d is p e r s i n d eR u th e r fo r d

A p n d ic e E C a n tid a d e s c o m p le ja s

A p n d ic e F

S o lu c i n n u m r ic a d e la e c u a c i n d e S c h r o din g e r in d e p e n d ie n te d e l t iem p o

para u n p o te n c ia l d e p o z o c u a d r a d o

A p n d ic e GS o lu c i n a n a lt ic a d e la e c u a c i n de

S c h r o d in g e r in d e p e n d ie n te e l t ie m p o parau n p o te n c ia l d e p o z o c u a d r a d o

A p n d ic e HS o lu c i n en s e r ie d e la e c u a c i n de

S c h r o d in g e r in d e p e n d ie n te d e l t ie m p opara u n p o te n c ia l d e o s c ila d o r a r m n ic o s im ple

A p n d ic e I

E l la p la c ia n o y lo s o p e r a d o r e s d e im p u lso an g u la r en c o o r d e n a d a s p o la r e s e s f r ic a s

A p n d ic e J La p r e c e s i n d e T h o m a s

7 4 9

7 6 9

7 7 3

7 8 1

7 8 5

7 8 9

7 9 5

8 0 1

8 0 7

8 1 1

A p n d ic e KE l p r in c ip io d e e x c lu s i n e n e l a co p la m ie n to L S 8 1 5

A p n d ic e L R e fe r e n c ia s 8 1 9

A p n d ic e M

R e sp u e s ta s a p ro b lem a s s e le c c io n a d o s 8 21

A p n d ic e NC o n sta n tes u su a le s y fa c to res d e c on v e r s i n 8 2 3

I n d ic e 8 2 5

CONTENIDO

Radiacin trmica y el postulado de Planck

i.X I n t r o d u c c i n 19

Teora cuntica antigua; relacin en tre la fsica cuntica y laclsica; papel de la cons tan te de Planck.

1.2 R a d ia c i n t r m ic a 19

Propiedades de la radiacin trmica, cuerpos negros; radianciaespectral; f u n ciones de d istr ibucin; radiancia; ley de S tefan; constan te de Stefan-Boltz- m ann ; ley de W ien; radiacin poruna cavidad; densidad de energa; ley de Kir- chhoff.

1.3 T e o r a c l s i c a d e la c a v id a d r a d i a n t e 21

O ndas e lectrom agnticas en una cavidad; ondas es tacionarias;conteo de las frecuencias permitidas; equipartic in de la energa;constan te de Boltzmann; espectro de Ravleigh-Jeans.

1.4 T e o r a d e P l a n c k d e la c a v id a d r a d i a n te 31

D istribucin de Boltzmann; energas discretas; violacin de laequipartic in; constan te de P lanck; espectro de Planck.

1.5 A p l ic a c i n d e la ley d e r a d i a c i n d e P l a nc k en term om etra 3 8

Pirm etros pticos; radiacin universal a 3K y la gran explosin.

1.6 E l p o s tu l a d o d e P l a n c k y s u s im p l ic a cio n e s 3 9

Definicin general del postulado; energas cuantizadas; estadoscunticos; n m eros cun ticos; pndulo macroscpico.

1 7

1 .7 B r e v e h is to r ia d e l q u a n tu m 4 1

Trabajo inicial de Planck; intentos de reconciliar lacuantizacin con la fsica clsica.

P r e g u n ta s 4 1

P r o b le m a s 4 3

1 8 RADIACION TERMICA Y EL POSTULADO DE PLa NCK C ap . 1

IRadiacin trmica y el

postulado de Planck

1.1 I n t r o d u c c i nEn una reunin de la Sociedad Alemana deFsica, el 14 de diciembre de 1900, Max Flanck ley un trabajointitulado 'La teora de la ley de distribucin de energas delespectro normal . Este trabajo que en un principio atrajo pocaatencin, fue el precursor de una revolucin en la fsica. La fecha desu presentacin se considera como el nacimiento de la fsica cuntica,a pesar de que fue hasta un cuarto de siglo despus, cuandoSchrodinger y otros desarrollaron la mecnica cuntica moderna, basedel conocimiento actual. Fueron muchos los caminos que convergieronen este conocimiento, cada uno de los cuales mostr distintosaspectos de las fallas de la fsica clsica. En ste y los siguientescaptulos se examinarn los logros ms importantes de la que hoy sellama teora cuntica antigua y que dio origen a la mecnica cunticamoderna. Los fenmenos experimentales que se analizarn en relacincon la teora cuntica antigua, comprenden todas las disciplinas dela fsica clsica: mecnica, termodinmica, mecnica estadstica yelectromagnetismo. La necesidad de una mecnica cuntica, semanifestar por la contradiccin sistemtica de las leyes clsicasrespecto a dichos fenmenos y la solucin a esos conflictos en base aideas cunticas. El estudio de la teora cuntica antigua permitirobtener, ms fcilmente, un conocimiento ms profundo de la mecnicacuntica cuando se inicie su consideracin en el quinto captulo.

Como en el caso de la relatividad (que se trata brevemente en elapndice A), la fsica cuntica representa una generalizacin de lafsica clsica, que incluye a las leyes clsicas como casosparticulares. As como la relatividad extiende el campo de aplicacinde las leyes de la fsica a la regin de altas velocidades, la fsicacuntica lo extiende a la regin de dimensiones pequeas; y as como larelatividad se caracteriza por una constante universal designificado fundamental, la velocidd de la luz c, as mismo la fsicacuntica se caracteriza por una constante universal de significadofundamental, que hoy se llama constante de Planck h. En su trabajode 1900, Planck introdujo esta constante para tratar de explicarlas propiedades observadas en la radiacin trmica. De esta manera seempezar el estudio de la radiacin trmica, que conducir a laconstante de Planck y, relacionada con sta, al concepto cuntico deenerga discreta. Tambin se ver que la radiacin trmica en s, es degran importancia y actualidad, ya que. por ejemplo, este fenmenolia ayudado recientemente a los astrofsicos a decidir entre variasteoras acerca del origen del universo.

1.2 R ad iacin trm icaSe llama radiacin trmica, a la radiacinemitida por un cuerpo como consecuencia de su temperatura. Todoslos cuerpos emiten esta radiacin a su derredor, y la absorben de l.Si, en

19

2 0 RADIACION TERMICA Y EL POSTULADO DE PLANCK Cap. 1

un principio, el cuerpo est ms caliente que su alrededor, seenfriar , ya que la rapidez con que emite energa exceder la rapidezcon que la absorbe. Cuando se alcanza el equilibrio trmico larapidez de emisin y la de absorcin de energa sern iguales. Lamateria en un estado condensado (es decir, slido o lquido) emite unespectro de radiacin con tinuo . Ixjs detalles del espectro soncasi independien tes del material particular del cual se com poneel cuerpo, pero dependen fuer tem ente de la tem pera tura . A temperaturas ordinarias, la mayora de los cuerpos son visibles no porla luz que emiten sino por la luz que reflejan, ya que si no sehace incidir luz sobre ellos no es posible verlos. Sin embargo, amuy altas tem pera tu ras , los cuerpos son lum inosos por smismos. En un cuarto obscuro se les puede ver brillar; pero an atem peraturas de varios miles de grados Kelvin, ms del 90% de laradiacin trm ica emitida es invisible para noso tros , empezandopor la parte co rrespond ien te al infrarro jo del espectroelectromagntico. Por lo tan to , los cuerpos lum inosos por smismos estn muy calientes.

Por ejemplo, considere el calen tam iento en el fuego, de unabarra de h ierro a tem peraturas cada vez ms altas, re tirando enforma peridica la barra del fuego, el tiempo suficiente paraobservar sus propiedades. Cuando la barra an est a tem peraturas rela tivam ente bajas, rada calor pero no est visiblemente caliente;conform e aum enta la tem pera tu ra , la cantidad de radiacinemitida por la barra aum en ta muy rpidam ente y empiezan a notarse efectos visibles. 1.a barra empieza a verse de un color rojoopaco, despus adquiere un color rojo brillante y, a m uy altas temperaturas , un in tenso color blanco azuloso. Es decir, a medidaque aum enta la tem pera tu ra , el cuerpo emite ms radiacin trmicay la frecuencia de la radiacin ms in tensa se vuelve cada vezmayor.

1.a relacin que existe en tre la tem pera tu ra de un cuerpo yel espectro de frecuencias de la radiacin emitida, se utiliza en undispositivo llamado p irm etro ptico. Este dispositivo es esencialmente un espectrm etro rud im entario que perm ite al operadorestimar la tem peratura de un cuerpo caliente, como una estrella,observando el c o lo ro la composicin de frecuencias de la radiacintrmica que emite. Existe un espectro con tinuo de radiacin emitida,pero el ojo hum ano ve principalm ente el color co rrespond ien tea la emisin ms in tensa en la regin visible. El sol, tos filamentosde focos y carbones calientes, son ejemplos com unes de objetos queem iten radiacin visible.

En trm inos generales, la forma detallada del espectro deradiacin trmica emitida por un cuerpo caliente, depende de lacomposicin del mismo. Sin embargo, experim enta lm ente se en cu entra que solo hay una clase de cuerpos que em iten espectros trmicos de caractersticas universales. Estos son los llamados cuerposnegros* es decir, cuerpos cuyas superficies absorben toda laradiacin trmica que incide sobre ellos. El nom bre resultaapropiado puesto que dichos cuerpos no reflejan luz y, por tan to ,se ven negros. Un ejemplo de un (casi) cuerpo negro, sera cualquierobjeto cubierto con una capa difusa de pigmento negro, comonegro-bismuto o negro- huino. Ms adelante se describi o tro ejemplobastante diferente. Independien tem ente de los detalles de sucomposicin, todos los cuerpos negros a la misma tem pera tu raemiten radiacin trmica con el mismo espectro. Este hecho general sepuede en tender en base a a rgum entos clsicos que implican elequilibrio term odinm ico. Sin embargo, la forma especfica delespectro no puede ob tenerse solam ente de argum entos term odinmicos. Las propiedades universa les de la radiacin emitida porcuerpos negros los hacen objeto de un in ters terico especial y losfsicos siempre tra ta ro n de en co n tra r una explicacin a lascaractersticas especficas de su espectro.

1.a d is tribucin espectral de la radiacin de un cuerpo negro seespecifica por la cantidad R t (v) , llamada radiancia espectral,definida tal que R r (v ) tlv e s igual a la energa emitida enforma de radiacin con frecuencias en el intervalo en tre v y v + chde un rea unitaria de la superficie a tem pera tu ra absoluta T ypor unidad de tiempo. En 1899, Lumrner y Pringsheim realizaron unade las prim eras mediciones precisas de esta cantidad. Utilizaronun ins trum ento esencia lm ente similar a los espectrm etros deprisma utilizados para medir espectros pticos, ex rep to que paralos prismas, lentes, etc, se utilizaron materiales especiales, de manera que

Sec. 1.2 RADIACION TERMICA 2 1

0 1 2 3 4v(10MHz)

FIG U R A 1-1Radiancia espectral de un cuerpo negro radiantecomo funcin de la frecuencia de radiacin, para temperaturas de1000K y 2000K del cuerpo radiante. Obsrvese que la frecuencia a laque ocurre la mxima radiancia (lnea punteada), aumenta linealmenteconforme la temperatura aumenta y que la potencia total emitida,por metro cuadrado del cuerpo radiante (rea bajo la curva), aumentamuy rpidamente con la temperatura.

fueran transparen tes a la radiacin trmica de f recuencia re lativam ente baja. En la figura 1-1 se indica la dependencia de R t(v) con T y r que se observa en los experim entos.

Las funciones de distribucin, de las cuales es un ejemplo, laradiancia espectral son muy comunes en fsica. As por ejemplo, lafuncin de distribucin de velocidades de Maxwell (que se parece auna de las curvas de la figura 1- 1) nos dice cmo se distribuyenlas molculas de un gas a presin y temperatura fijas, de acuerdo consu velocidad. Otra funcin de distribucin, que probablemente elestudiante ha visto, es la que especifica el tiempo de decaimientode ncleos radiactivos (que tiene la forma de una exponencialdecreciente) en una muestra que contiene ncleos de una especiedada, y desde luego habr visto la funcin de distribucincorrespondiente a las calificaciones obtenidas en un examen defsica.

La funcin de distribucin para la radiancia espectral de uncuerpo negro de rea dada y a una temperatura particular, sea 1 0 00K de la figura 1-1, muestra que: (1) la potencia emitida por unintervalo de frecuencias pequeo dv, es pequea si ese intervalo seencuentra a una frecuencia v muy pequea comparada con 1014 Hz. Lapotencia es cero para v igual acero. (2) La potencia radiada en elintervalo d v aumenta rpidamente a medida que v aumenta, partiendode valores muy pequeos. (3) Alcanza un mximo para un valor de p ~1.1 X 1014 Hz. Es decir, la potencia radiada con mayor intensidad,ocurre a esa frecuencia. (4) Por arriba de 1.1 X 1014 Hz, lapotencia radiada disminuye lenta pero continuamente conforme vaumenta. Se vuelve cero una vez ms, cuando v tiende a valoresinfinitamente grandes.

Las dos funciones de distribucin, correspondientes a lastemperaturas de 1500K y 2000K, que aparecen en la figura, muestranque; (5 ) la frecuencia para la cual la potencia radiada ocurre conmayor intensidad, aumenta, conforme la temperatura aumenta. Porinspeccin de la figura se puede verificar que esta frecuenciaaumenta linealmente con la temperatura. (6 ) La potencia totalradiada, en todas las frecuencias, aumenta conforme la temperaturaaumenta, pero ms rpidamente que en forma lineal. La potencia totalradiada a una temperatura particular, se obtiene sencillamente delrea bajo la curva correspondiente a esa temperatura, dv,ya q u eR^iv )d v es la potencia radiada en el intervalo defrecuenciascomprendido entre v y v 4 - dv.

2 2 RADIACION TERMICA Y EL POSTULADO DE PLANCK Cap. 1

La integral de la radiancia espectral R T (v) sobre toda v , esla energa total emitida de un cuerpo negro a tem pera tu ra T, porunidad de tiempo y por unidad de rea. Se le llama lar a d i a n c ia , es decir,

R T = j R T(v) dv (1-1)o

Como se m encion en el estudio relacionado con la figura 1-1, RT au m en ta r a rpidam ente a medida que la tem pera tu ra aumenta . El resultado se conoce como ley de Stefan, y fue enunc iadapor prim era vez en 1879, en forma de una ecuacin emprica:

R t = o T A (1-2)

donde

o = 5.67 x 10-* W/m2-K 4

es llamada constante de Stefan-Boltzmann . En la figura 1-1tambin se m uestra que el espectro se desplaza hacia frecuenciasmayores a medida que T aum enta . Este resultado se conoce como leydel desplazamiento de JVien:

Vma'x ce T f 1 -3a)

donde *Wx es la frecuencia para la cual / ^ ( ^ a l c a n z a suvalor mxim o para u n a T particular. A medida que T a u m e n t a, s e desplaza hacia frecuencias mayores. Todos estos resultadoscon- cuerdan con las experiencias ya conocidas que se analizaron ante r io rm en te , a saber; que la r a diacin trm ica emitida aumen ta rpidam ente con la tem pera tu ra , (la barra de fierro radamucha ms energa trmica a tem pera tu ras ms altas), y la frecuenciaprincipal de la radiacin tambin aum en ta , conform e la tem peratu ra aum en ta (la barra cambia de color, de rojo opaco a blancoazuloso).

Otro ejemplo de un cuerpo negro, que como se ver resulta par ticu la rm ente im portan te , consiste en un objeto que contieneuna cavidad y que se com unica con el exterior por medio de unpequeo agujero como se m uestra en la figura 1-2. La radiacin delexterior que incide sobre el agujero, penetra en la cavidad y serefleja hacia todos sentidos en las paredes de la cavidad, de modoque even tualm ente se absorbe en estas paredes. Si el rea delagujero es muy pequea, comparada con el rea de la superficie interna de la cavidad, la radiacin reflejada hacia el exterior atravs del agujero ser despreciable. Esencialmente, toda la radiacinque incide sobre el agujero ser absorbida, por lo tan to , elagujero tendr todas las propiedades de la superficie de un cuerponegro. La mayora de los cuerpos negros que se utilizan en losexperim entos de laboratorio , se construyen a lo largo de estaslneas.

Supngase que las paredes de la cavidad se calientan a una tempera tu ra T, de modo que

F I G U R A 1-2Cavidad en un cuerpo comunicada con el exteriorpor medio de un pequeo agujero. La radiacin incidente sobre elagujero es absorbida completamente despus de reflexiones sucesivasen las paredes internas de la cavidad.El agujero absorbe radiacincomo un cuerpo negro. En el proceso inverso, por medio del cual laradiacin que sale por el agujero se constituye por contribucionesemitidas de la superficie interna, el agujero emite radiacincomo uncuerpo negro.

Sc. 1.2 RADIACION TERMICA 2 3

emitirn radiacin trmica que llenar la cavidad. Una pequeafraccin de esta radiacin, que incida en el agujero, pasar por l, yas el agujero actuar como emisor de radiacin trmica. Como elagujero debe tener las propiedades de la superficie de un cuerponegro, la radiacin que emite debe tener el espectro de un cuerponegro; sin embargo, como el agujero simplemente muestrea laradiacin trmica dentro de la cavidad, resulta evidente que laradiacin en la cavidad tambin debe tener un espectro de cuerponegro. De hecho, debe tener un espectro de cuerpo negrocaracterstico de la temperatura T en las paredes, ya que sta es lanica temperatura que se define en el sistema. El espectro emitidopor el agujero en la cavidad, se especifica en trminos del flujo deenerga /?y(v). Sin embargo, resulta ms til especificar el espectrode la radiacin dentro de la cavidad, llamada radiacin de lacavidad, en trminos de una densidad de energa, p r ^ q u e sedefine como la energa contenida en una unidad de volumen de lacavidad a tem peratura T , en el intervalo de frecuencia entre t yv + dv. Es evidente que estas cantidades deben ser proporcionalesentre s, es decir,

p T (v) oc R t (v) ( 1-4 )

Por lo tanto, la radiacin dentro de una cavidad cuyas paredesestn a tem peratura T, tiene el mismo carcter que la radiacinemitida por la superficie de un cuerpo negro a temperatura T.Experimentalmente, resulta conveniente producir un espectro decuerpo negro, por medio de una cavidad en un cuerpo caliente con unagujero hacia el exterior, y tericamente tambin es convenienteestudiar la radiacin de un cuerpo negro, analizando la radiacin deuna cavidad, ya que es posible aplicar argumentos muy generalespara predecir las propiedades de la radiacin de una cavidad.

E je m p lo 1-1. (a) Ya que v = c, la velocidad constante de laluz, la ley del desplazamiento de Wien(l-3a), tambin se puedeescribir como:

Amx T constante ( l '3b)

donde es la longitud de onda para la cual, a una temperatura Tparticular, la radiancia espectralalcanza su valor mximo. El valordeterminado experimentalmente para la constante de Wien es 2.898X10-3 m-K.S se supone que las superficies de las estrellas secomportan como cuerpos negros, se puedeobtener una buena estimacinde su temperatura, midiendo ^mx- Para el sol, m'lJC= 5100 ,mientras que para la estrella polar = 3500. Encuentre latemperatura de la superficie de estas estrellas. (Un angstrom = 1 =10 10 m.)

Para el sol, T= 2.898 X 10 3m-K%5100 X 10-10 m = 5700K. Para laestrella polar, 7=2.898 X 10-3 m- m-K3500 X 10-10 m = 8300K.

A 5700K, la superficie del sol est a una temperatura muy cercanaa la necesaria para que la mayor parte de su radiacin est en laregin visible del espectro. Lo anterior sugiere que durante lasetapas de la evolucin humana, nuestros ojos se Han adaptado al sol,hacindose ms sensibles a aquellas longitudes de onda que emite conmayor intensidad.

b) Utilizando la ley de Stefan, (1-2), y las temperaturas recinobtenidas; determinar la potencia radiada por 1 cm2 de superficieestelar.

Para el sol.

r t = oT a = 5.67 x 10- W/m2-K 4 x (5700K)4

= 5.90 x 1 0 7 W /m 2 - 6000 W/cm2

Para la estrella polar.

r t = a T 4 = 5.67 x 10"8 W /m 2-JC4 x (8 3 0 0 K )4 = 2.71 x10a W /m 2 27,000 W/cm2

2 4 RADIACION TERMICA Y EL POSTULADO DE PLANCK Cop. 1

E je m p lo 1-2. Suponga que se tienen dos cuerpos opacos,separados por una distancia grande y colgados de hilos finos en unacmara evacuada cuyas paredes se mantienen a temperatura constante.En tales condiciones, los cuerpos y las paredes intercambian calorslo por medio de radiacin. Sea e la razn de emisin de energaradiante de un cuerpo y sea a la razn de absorcin de energaradiante del cuerpo. Demuestre que en equilibrio

% ?o- = - = 1 (1-5)ai a2

Esta relacin, (1*5), se conoce como ley deradiacin de Kirckkoff.En todo el sistema dentro de la cmara y en tal estado, la razn deemisin necesariamente es igual a la razn de absorcin para cadacuerpo. Entonces:

ei = ai y ez = az

Por lo tanto,el j 2al 2

Si uno de los cuerpos, por ejemplo el cuerpo 2, es un cuerponegro, entonces a2 > C|. As pues, el hecho observado de quecuerpos que son ms absorbentes tambin son buenos emisores, sepredice por la ley de Kirchhoff.

1 .3 T e o r a c l s ic a d e la c a v id a d ra d ia n te

A principios del presente siglo, Rayleigh y tambin Jeans,hicieron clculos de la densidad de energa de la radiacin por unacavidad (o cuerpo negro ) , que sealaban hacia un serio conflictoen tre la fsica clsica y los resultados experimentales. Este clculoes similar a los que resu ltaron de considerar m uchos o tros fenmenos (es decir, el calor especfico de los slidos) que sern tratadosms adelante. Los detalles sern presentados aqu, pero primero sedescribirn los procedimientos generales que servirn como gua en losclculos.

Considrese que a una cavidad con paredes metlicas se la calientaun iform em ente a una tem pera tura T. Las paredes em itenradiacin electromagntica en el intervalo trmico de frecuencias. Sesabe que esto ocurre , bsicamente, por el movimiento acelerado delos e lectrones en las paredes, que resulta de la agitacin trmica(vase el apndice B). Sin embargo, no es necesario estudiar endetalle el com portam iento de las ondas electromagnticas en elinterior de la cavidad. Kayleigh y Jeans procedieron en la formasiguiente. En primer lugar, se utiliza la teora electromagnticaclsica para dem ostrar que la radiacin en el interior de la cavidaddebe existir en forma de ondas estacionarias con nodos en lassuperficies metlicas. Utilizando argum entos geomtricos, se cuentael nm ero de dichas ondas estacionarias en el intervalo defrecuencias en tre y y v + d v t con el fin de de term inar cmodepende ese nm ero de V. Despus, se utiliza un resultado de lateora cintica para calcular la energa total promedio de estas ondascuando el sistema est en equilibrio trmico. En la teora clsica, laenerga total promedio slo depende de la tem peratura T. El nm erode ondas estacionarias en el intervalo de frecuencias, multiplicadopor la energa promedio de las ondas y dividido en tre el volumen dela cavidad, proporciona el contenido de energa promedio por unidadde volumen en el intervalo de frecuencias en tre y y y + d v , yesta es la cantidad que se buscaba :1a densidad de energa p y (v).Ahora, haga todo esto.

Por simplicidad, supngase que la cavidad de paredes metlicasllena con radiacin e lec tromagntica tiene la forma de un cubo delado a, como se m uestra en la figura 1-3. En ese caso, la radiacinque se refleja de las paredes puede ser analizada en trm inos detres com ponentes a lo

Sec. 1.3 TEORIA CLASICA DE LA CAVIDAD RADIANTE 25

F I G U R A 1-3Cavidad con paredes metlicas llena con radiacinelectromagntica, mostrando las tres componentes de la radiacin sininterferirse, que rebotan de las paredes y que forman ondasestacionarias con nodos en cada pared.

largo de las tres direcciones m u tu am en te perpendicularesque definen los lados de la cavidad (ionio las paredes opuestas sonparalelas en tre s, las tres com ponentes de la radiacin no semezclan y se pueden tra tar por separado. Considrese la com ponente x en la pared metlica en x 0. Toda la radiacin que incide sobreesta pared es reflejada y las ondas incidentes y reflejadas se combinan para formar una onda estacionaria. Ahora bien, como laradiacin e lec trom agntica es una vibracin trasversal con elvector de campo elctrico E perpendicu lar a la direccin depropagacin, y como la direccin de propagacin para este com ponentees perpendicular a la pared en cuestin , el vector de campoelctrico E es paralelo a la pared. Sin embargo, una pared metlicano es compatible con un campo elctrico paralelo a su superficie, yaque siempre se puede establecer un flujo de cargas de modo tal quese neutralice el campo. Por lo tanto para esta com ponente , Esiempre es cero en la pared. Es decir, la onda estacionariaasociada con la com ponen te x de la radiacin, debe tener un nodo(amplitud cero) en.* = 0. La onda estacionaria tambin deber tenerun nodo en * = a , ya que no puede haber un campo elctrico paraleloen la pared correspondiente . Adems, se aplican condicionessimilares a las o tras dos com ponentes; la onda estacionariaasociada con la com ponente y deber tener nodos en y 0 y a, y laonda estacionaria asociada con la com ponente z, deber tener nodosen z = 0 y z a. Estas condiciones imponen limitaciones en laslongitudes de onda posibles y por lo tanto , en las frecuenciasposibles de la radiacin electromagntica en la cavidad.

Ahora se considerar el problema de con ta r el nm ero de ondasestacionarias con nodos en las superficies de la cavidad, cuyaslongitudes de onda se encu en tran en el intervalo en tre A y ).-f- dX , co rrespondien te al intervalo de frecuencias en tre v y v+ dv. P rim ero se tra tar la com ponente *, solam ente para fijarla a tencin en las ideas contenidas en este clculo; es decir, setra tar el caso simplificado, aunque artificial, de una "cavidad unid im ensional de longitud a. Al desarrollar este caso, se ver quela generalizacin al caso real tridimensional es obvio.

El campo elctrico para una onda estacionaria unidim ensionalpuede describirse matemti- m ente por la funcin

E (x , t) = E0 sen (2irxJX) sen {2irvt) (1 -6)

donde 2 es la longitud de onda, v la frecuencia y E0 la amplitudmxima de la onda. I.as dos primeras cantidades se relacionan en tres por medio de la ecuacin

v c2 (1-7)

26 RADIACION TERMICA Y EL POSTULADO DE PLANCK Cap. 1

F I G U R A 1-4Patrones de amplitud para ondas estacionarias enuna cavidad unidimensional con paredes en x = 0 y x = a, para lostres primeros valores del ndice n.

donde c es la velocidad de propagacin de las ondaselectromagnticas. La ecuacin (1-6) rep resen ta una onda cuyaamplitud vara en el espacio como sen (2 tt x / A ) y que oscila enel tiempo con frecuencia v como un oscilador arm nico simple.Puesto que obviam ente , la am plitud ser igual a cero en todotiempo para las posiciones que satisfagan la relacin

2xA = 0 , 1, 2, 3, . . . (1-8)

la onda tend r nodos fijos en ellas, esto es, es u n a ondaestacionaria. Para poder satisfacer elrequisito de que las ondastengan nodos en los extrem os de la cavidad unidim ensional seescoge el origen del eje x en uno de los extrem os de la cavidad (x= 0 ) y se exige que en el o tro extrem o(* a)

2xX = n p a ra # = a (1-9)

donde

n = 1, 2 , 3, 4, . . .

Esta condicin determ ina el con jun to de valores permitidos dela longitud de onda. Para estos valores permitidos, las am plitudesde las ondas estacionarias siguen un patrn cuya apariencia se muestra en la figura 1-4. Estos patrones se pueden reconocer comolos correspondien tes a ondas estacionarias producidas por lasvibraciones de una cuerda sujeta en sus extrem os, sistema fsicoreal que tambin satisface (1-6). En nues tro caso, el patrnrepresenta ondas electrom agnticas estacionarias.

P or conveniencia, la discusin se con tina en trm inos defrecuencias permitidas en lugar de longitudes de onda permitidas,Estas frecuencias son v = cj?^y donde 2ak n. Es decir,

v cn2a n 1, 2, 3, 4 , . . . (1-10)

Estos valores permitidos de la frecuencia pueden representarsepor un diagrama que consiste de un eje sobre el cual se sealanpuntos correspondien tes a cada valor en tero de n. En dichodiagrama, el valor permitido de la frecuencia v, correspondien te aun valor particular de n y de acuerdo con ( 1- 1 0 ), es igual a c/2 a veces la distancia d e l origen al p unto respectivo, otambin, la d istancia d es 2 a /c veces la frecuencia v. Estasrelaciones se m uestran en la figura 1-5. Dichos diagramas resultantiles en el clculo del nm ero de valores permitidos de lafrecuencia v en el intervalo de v a v + d vy que se denota por /V(v) dv. Para evaluar esta cantidad, sim plem ente se cuen ta el nmero de puntos sobre el eje n que se encu en tran en tre dos lmitesque se construyen de manera tal que correspondan a las frecuenciasv y i 4 -dv , respectivam ente , como los pun tos se d istribuyenun iform em ente en el eje n , aparen tem ente el nm ero de pun tos comprendidos en tre estos dos I imites ser proporcional a dv perono depender de v. En realidad, fcilmente se ve que /V (v) dv (2a/c) dv. Sin embargo, lo an te r io r debe multiplicarse por unfactor de 2, ya que, para cada frecuencia permitida, existen enrealidad dos ondas independientes correspon-

5c, 1,3 TEORIA CLASICA DE LA CAVIDAD RADIANTE 27

- d = (2a/c) (v + du) d (2aje) v -------

0 1 2 3 4

F IG U R A 1-5Valores permitidos del ndice n, que determina losvalores permitidos de la frecuencia, en una cavidad unidimensionalde longitud a.

clientes a los dos estados de polarizacin posibles de las ondaselectromagnticas. Por lo tanto, se tiene que

AaN(v) dv dv (1-11)

De esta manera se completa el clculo del nm ero de ondasestacionarias permitidas para el caso artificial de una cavidadunidimensional.

El clculo anterior hace evidente los procedimientos paraextender el clculo al caso real de una cavidad tridimensional. Estaextensin se indica en la figura 1-6. En este caso, el conjunto depuntos uniformemente distribuidos en valores enteros a lo largo deleje n, se sustituye por un arreglo tridimensional uniforme depuntos cuyas tres coordenadas corresponden a valores enteros a lolargo de tres ejes n m utuam ente perpendiculares. Cada punto de\arreglo corresponde a una onda estacionaria tridimensionalparticular permitida. El nmero de nodos de las componentes x, y, zde la onda estacionaria, se obtienen de los valores enteros nx, ynv, equivale a analizar una onda tridimensional (es decir, que sepropaga en una direccin arbitraria) en tres componentestridimensionales. En este caso, el nmero de frecuencias permitidasen e1 intervalo de frecuencia de v a v dv es igual al nmero depuntos contenidos entre dos cascarones esfricos con radioscorrespondientes a las frecuencias v y r + dv respectivamente.

F IG U R A 1-6Los valores permitidos de la frecuencia en unacavidad tridimensional cbiea de lado a. se determinan por tresndices rtx, nv, nz que slo pueden tomar valores enteros. Para mayorclaridad, se muestran slo unos cuantos de los muchos puntoscorrespondientes a conjuntos de estos tres ndices.

r = (2a/c} v

= (2a/c) d v

28 RADIACION TERMICA Y EL POSTULADO DE PLANCK Cap. 1

Lo an terior ser proporcional al volumen en tre estos doscascarones esfricos, yaque los puntos se d istribuyenuniformemente. Por lo tan to , se puede ver que l \ ( v ) dv serproporcional a vz dv, ya que el factor v2 es proporcional al rea delos cascarones y el segundo factor dv, es proporcional a ladistancia en tre ellos. En el ejemplo siguiente, se analizarn losdetalles y se encontrar que

\ a S t tF a N (y) dv = v (1-12)

donde V a3, el volumen de la cavidad.

E je m p lo 1*3. Derivar (1-12), que d el nmero de ondaselectromagnticas estacionarias permitidas, en cada intervalo defrecuencias, para el caso de una cavidad tridimensional cbica deparedesmetlicas de lado a.

Considrese radiacin de longitud de onda A y frecuencia v = c/A,que se propaga en una direccin definida por los ngulos a, y, comose muestra en la figura 1-7. La radiacin debe ser una ondaestacionara ya que sus tres componentes son ondas estacionarias. Laposicin de algunos de los nodos fijos de esta onda estacionaria, seindica por un conjunto de planos perpendiculares a la direccin depropagacin a, ff, y.. Ia distancia entre estos planos nodales de laradiacin, es justamente A /2, donde A es su longitud de onda. Seindica tambin la posicin de los tres ejes de los nodos de las trescomponentes.

l a^s distancias entre estos nodos es:

*xl2 = A/2COS

A/2 = A/2C0S fi

XJ2 = A/2cos y

(1-13)

F I G U R A 1-7

Planos nodales de una onda estacionaria propagndose endeterminada direccin en una cavidad cbica.

Sec. 1.3 TEORIA CLASICA DE LA CAVIDAD RADIANTE 29

Las expresiones para las magnitudes de los campos elctricos delas tres componentes en los tres ejes se pueden escribir como,

E (x t r) = E0^sen (2TrxJXg) sen (27tv)E(g, t) = E0vsen(27ryJAv)sen(2irvt)E(z , 0 = E0 sen (l-rrzl2Z) sen(2irvt)

La expresin para la componente x representa una onda conamplitud mxima E0 con una variacin en el espacio sen(2irx/A.x) yque oscila con una frecuencia? .Como el sen(2irx/ l x)es cero para2z/^z =0, 1, 2. 3,..., la onda es estacionaria con longitud de onda2X ya que tiene nodos fijos separados una distancia Ax=2*/2. Lasexpresiones para las componentes y y z representan ondasestacionarias de amplitudes mximas E0 E0zy longitudes de onda Xy yXz pero las tres ondas estacionarias componentes oscilan con lafrecuencia v de la radiacin. Obsrvese que las tres expresionessatisfacen automticamente el requisito de que la componente* tengaun nodo en * = 0 , la componente y tenga un nodo en y = 0 , y lacomponente z tenga un nodo en z = 0. Para que satisfagan elrequisito de que la componente * tenga un nodo en x = a,lacomponente y tenga un nodo en y = a, y la componente z tenga unnodo en z = a se hace:

2x/kx = nx para x = a2y]Xv = nv para y -- a2z/Aj nz para z =a

donde rix = 1, 2, 3,...; v = 1, 2, 3,...; = 1,2, 3,.... Usando(1-13), estas condiciones se transforman en:

(2a] A) eos a = nx (2a/2) eos /* = ny {2a]2) eos y = nz

Elevando al cuadrado ambos miembros de estas ecuaciones ysumando, se obtiene

(2a/2)2(cos2 a + eos2 /? 4- eos2 y ) = n \ + + ttl

pero los ngulos a, /?, y tienen la propiedad

eos2 a + eos2 + eos2 y = 1

Por lo tanto,

2 a] A = + n2 + n\

donde ru, n*r

3 0 RADIACION TERMICA Y EL POSTULADO DE PLANCK Cap. 1

Como /V (r) dr es igual al volumen comprendido entre loscascarones por la densidad de puntos de la red, y como, porconstruccin, la densidad es uno, jV (r) dr es simplemente,

1 7Tr2 drN (r)d r = - 4 t t r 2 dr = (1-15)

o 2

Igualando lo anterior a N(v) dv, y evaluando r2 dr de (l-14b),se tiene

tt / 2 A3

= 2 l 7 j

N (y )d v = - I \v * d v

Para completar el clculo, estos resultados se deben multiplicarpor un factor de 2 , ya que, para cada una de las frecuenciaspermitidas que se han enumerado, existen en realidad dos ondasindependientes correspondientes a los dos estados de polarizacinposibles de la radiacin electromagntica. Por lo tanto, se liaderivado (1-12). Se puede demostrar que N (v) es independiente dela forma de la cavidad y slo depende de su volumen. ^

O bsrvese que e x is te u na d ife re n c ia s ig n if ic a t iva en tre los resu ltado s obtenidos para el caso rea l de u na cavidad tr id im e n s io n a l y lo s resu ltad o s obtenidos an tespara el caso a r t if ic ia l de unacavidad unidimensional. Elfactor vz que se en cu en tra en (1-12) pero no en (1-11), jugar unpapel m uy im portan te , como se ver, en los argum entossiguientes. Bsicamente, este factor resulta del hecho de quevivimos en un m undo tridimensional siendo la potencia de r u n omenos que la dimensionalidad. A unque Planck, al resolver finalmente las serias discrepancias en tre la teora clsica y el experimento , puso en tela de juicio algunos puntos que haban sidoconsiderados obviam ente ciertos, ni l ni o tros trabajando sobreel problema dudaron de ( 1 -1 2 ). Existi y an persiste un acuerdogeneral de que (1-12) es vlida.

Ahora ya se puede contar el nm ero de ondas estacionarias. Elpaso siguiente en la teora clsica de Kayleigh-Jeans para laradiacin de un cuerpo negro, es el clculo de la energa totalpromedio contenida en cada onda estacionaria de frecuencia v. Deacuerdo con la fsica clsica, la energa de alguna onda particularpuede tener cualquier valor en tre cero e infinito y su valor realdebe ser proporcional al cuadrado de su amplitud constan te E0. Sinembargo, para un sistema que contenga un nm ero grande de entesfsicos del mismo tipo, los cuales estn en equilibrio trmico a unatem peratura T , la fsica clsica hace una prediccin bastan tedefinitiva acerca de los valores promedio de las energas de losentes. Esto puede aplicar en este caso, puesto que la m ulti tud deondas estacionarias, que constituyen la radiacin trmica dentro dela cavidad, son entes del mismo tipo que estn en equilibrio trmicoen tre s, a la tem pera tura T de las paredes de la cavidad. Elequilibrio trmico se asegura por el hecho d e q u e las paredes deuna cavidad real siempre absorbern y rerrad iarn , con diferentesfrecuencias y direcciones, una pequea.parte de la radiacin queincide sobre ellas, y consecuen tem ente , las d iferentes ondasestacionarias en forma gradual, podrn in tercam biar energa como serequiere para m an tener el equilibrio.

prediccin viene de la teora cintica clsica, y es llamada ley deequiparticin de la energa. Esta ley afirma que para un sistema demolculas de un gas, en equilibrio trmico a una t m pera tura T, laenerga cintica promedio de una molcula, por grado de libertad, es772 , donde k = 1 .38 X 10 23 jouleK se le llama constante deBoltzm ann. Esta ley se aplica a cualquier sistema clsico quecontenga, en equilibrio, un nm ero grande de entes del mismo tipo.Para el caso que nos ocupa, los entes son ondas estacionarias quetienen como nico grado de libertad, las amplitudes de sus camposelctricos. Por lo tan to , sus energas cinticas, en promedio,tendrn el mismo valor, A-772. Sin embargo, cada onda estacionariaoscilante senoidal tiene una energa total que es el doble de suenerga cintica promedio. Esta es una propiedad com n a todos lossistemas que tienen un solo grado de libertad y que llevan a cabooscilaciones armnicas simples en el tiempo; casos conocidos son unpndulo o un resorte. Por lo tanto, de

Ser. i.4 TEORIA DE PLANCK DE LA CAVIDAD RADIANTE 31

acuerdo con la ley clsica de la equ iparac in , cada ondaestacionaria en la cavidad tiene una energa total promedio

32 RADIACION TERMICA Y EL POSTULADO DE PLANCK Cap. 1

figura 1 -8 resulta evidente que la ley proporc iona resultadossatisfactorios a bajas frecuencias. P o r lo tan to se puedesuponer

(1-18)

Es decir, la energa total prom edio tiende a T a medida que la frecuencia tiende a cero. La discrepancia a frecuencias altas seelimina si, por alguna razn, existe un corte, de modo que

------* 0 (1-19)

es decir, si la energa total promedio t iende a cero cuando lafrecuencia t iende a infinito. En o tras palabras, Planck pens que,dadas las c ircunstancias que prevalecen en el caso de la radiacindel cuerpo negro, la energa promedio de una onda estacionaria esfuncin de la frecuencia (v) con las propiedades indicadas por(1-18) y (1-19). Esto con tras ta con la ley de equipartic in de laenerga que asigna a la energa promedio un valor independien te dela frecuencia.

Veamos el origen de la ley de equipartic in. Bsicamente surge deu n resultado m u ch o ms completo de la teora cintica clsicallamado d is tribucin de Boltzmann. (En el apndice C se dan los argum entos que conducen a la d istribucin de Boltzmann, paraaquellos es tud ian tes que no estn familiarizados con ella.) Aquse utilizar una form a especial de la d istribucin de Boltzmann

p- * t k TM ) = - p jT ( 1-2 0 )

en la que P { ) d es la probabilidad de encon tra r un en tedado de un s istema, con energa en el in tervalo en tre y + d 1,cuando el nm ero de estados de energa para el ente en ese intervalo , es independien te de . Se supone que el sistema contieneun n m ero grande de entes del mismo tipo, en equilibrio trm ico atem pera tu ra Ty y k rep resen ta la constan te de Boltzmann. Laecuacin (1-20) gobierna las energas de los entes del sistema que seestn considerando, a saber, un con ju n to de ondas estacionariasque oscilan de modo arm nico simple.

La funcin de d istribucin de Boltzmann est n tim am enterelacionada con la funcin de d is tribucin de Maxwell para laenerga de una molcula en un sistema de molculas en equilibriotrmico. De hecho, la exponencial en la funcin de d is tribucin deBoltzmann es responsable por el factor exponencial en la distribucin de Maxwell. Algunos estud ian tes sabrn que existe unfactor 1/2 presente en la distribucin de Maxwell, que resulta porla c ircunstanc ia de que el nm ero de estados de energa para unamolcula en el in tervalo en tre y + d no es independien te de ,sino que aum en ta en proporcin a & l/2-

La funcin de d is tribucin de Boltzmann proporciona una informacin completa acerca de las energas de los entes del sistema,incluyendo desde luego, el valor promedio de las energas . Estaltima cantidad puede ob tenerse usando (1-20) para P { ) yevaluando las integrales en el cociente:

OO

| P ( ) d

= ( 1-21)

J P()o

d

Sec. 1.4 TEORIA DE PLANCK DE LA CAVIDAD RADIANTE 33

El in tegrando en el n u m erad o r es la energ a , pesada porla probabilidad de que el en te se e n c o n t ra r con estaenerga. La energa prom edio se ob tiene in tegrando sobre todos losvalores posibles de la energa. El d enom inador es la probabilidadde e n c o n t ra r al en te con cualquier energa y por lo tan todeber ten e r el valor un o ; que lo tiene. La integral en el n u merad o r puede eva luarse , y el resu ltado es ju s ta m e n te laley de equ ipar t ic in de la energa

= k T (1-22)

Ln lugar de llevar a cabo la eva luac in , resu lta r ms co n ven ien te , por los a rg u m en to s s iguientes, exam inar la represen tac in grfica de P ( ) y que se m u es tran en la partesuperio r de la figura 1-9. Se grfica P { ) com o func in d e . Suvalor m ximo, 1/kT , o c u r r e e n 0 y el valor de P( )d ecrecesu av em en te a medida que ^ a u m e n ta y t iende a cero cu ando* co. Es decir, el vajor que es ms probable que se e n c o n tra ren u n a medida de , ser cero. Pero el prom edio de los resu ltadosque se e n c o n tra r an en c ierto n m e ro de medidas de es mayor que cero. La evaluacin de a p a r t ir de P( ) , se indica enla mitad inferior de la f igura 1-9.

La gran c o n tr ib u c i n de P lanck surgi cuando pudo darse cu e n ta que poda lograr el corle requerido , indicado en (1-19),si modificaba el clculo que conduce a a p a r t ir de P ( ) , tratan d o la energa como si fuera u n a variable discreta en lugar dela variable continua que defin it ivam en te es desde el p u n tode vista de la fsica clsica. Esto puede hacerse , cu a n t i ta tiv a m en te , si se vuelve a escrib ir (1-21) en t rm in o s desum as en lugar de integrales. P ro n to se ver

1 /k T

Isio*

y e

a,t

U -kT

34 RADIACION TERMICA Y EL POSTULADO DE PLANCK Cap. 1

que esto no es difcil de hacer, pero es ms ins truc tivo estudiar pr im ero , la representacin grfica en la figura 1-10 .

P lanck supuso que la energa poda tom ar slo c iertos valoresdiscretos, en lugar de cua lquier valor, y que los valoresdiscretos de la energa estaban u n ifo rm em en te d istribuidos;es decir , tom

= 0 , A , 2 A , 3A

Sec. 1.4 TEORIA DE PLANCK DE LA CAVIDAD RADIANTE 35

como el con jun to de valores perm itidos de la energa. El intervalo un iform e en tre valores sucesivos de la energa, es eneste caso A S . En la parte superior de la figura 1-10, se ilustrauna evaluacin de S a partir de para un caso en el que A S

36 RADIACION TERMICA Y EL POSTULADO DE PLANCK Cap. 1

para una tem pera tura T = 1595K. Los resultados experim entalesconcuerdan con la frm ula de Planck, para toda tem pera tu ra .

Debe recordarse que Planck no alter la distribucin de Boltzmann," to d o lo que hizo fue considerar la energa de las ondaselectromagnticas estacionarias, oscilando senoidalmente en eltiempo, corno una cantidad discreta en lugar de una cantidadcontinua .

E j e m p lo 1-4. Derivar la expresin de Planck para la energapromedio $ y su espectro del cuerpo negro.

La cantidad & se calcula de la razn de las sumas

y

n= 0

anlogas a la razn de integrales en (1-21). Debido al postuladode Planck, la energa se convierte en una variable discreta que tomaslo los va lo res^ = 0 ,h t\2 h v ,3 h v , . . . . y por lo tanto,se deben utilizar sumas. Es decir, nhv, donde n = 0, 1, 2, 3,. . .Evaluando la distribucin de Boltzmann =~ ^ik>r\k T s setiene

| |- , kT donde * - ^0O 1 S h.f'

n=0 * * n-0Lo anterior, a su vez, puede evaluarse ms fcilmentesi se observa que;

d 93 00 d a y e- "* y a e-na y note nad doc,0 4~0 d &0

- a X ln l e

de manera que,

Ahora bien.

pero

de modo que;

B= ^ e-nx ^ e~naL y e~nan- 0 ti 0 n=0

( d 00 \ d ln y e~na ) = - hv ln y < rna/ot o / n t 0y e-na =1 + e- + c-2a + c-3* +

n0= 1 + X + A' 2 + A' 3 + * donde X = e~

(i - x y 1 = i + x + x 2 + x3 +

g = Ar ln (1 - e~ a )_1na

= a r * - - = p f ~ i)(ihve~a hv hv

1 e e 1 ghv/kT _ ]

Se ha derivado (1-26) para la energa promedio de una ondaelectromagntica estacionaria de frecuencia v. Multiplicando loanterior por (1-12), a saber, el nmero /V (r) dv de ondas quetienen frecuencia1, que se deriv en el ejemplo 1-3, inmediatamentese obtiene el espectro de Planck del cuerpo negro, (1-27).

E je m p lo 1-5. Al analizar resultados experimentales, como enla figura 1-11, resulta conveniente expresar el espectro de Planckdel cuerpo negro, en funcin de la longitud de onda A , en lugar dela

Sec. 1.4 TEORIA DE PLANCK DE LA CAVIDAD RADIANTE 37

F I G U R A 1 -1 1

Prediccin de Planck de la densidad de energa (lnea continua)comparada con los resultados experimentales (crculos) para ladensidad de energa de un cuerpo negro. Los datos fueron reportadospor Cobientz en 1916, correspondientes a una temperatura de 1595K.El autor seala en su artculo que despus de dibujar las curvas delos espectros de energa que resultaron de sus experimentos, "debidoa fatiga de los ojos, fue imposible durante los mesessubsiguientes, dedicar atencin a la reduccin de los datos". Una vezque los datos fueron reducidos, se obtuvo un valor de la constantede Planck de 6.57 X 10 34 joule-seg.

frecuencia v.ObtenerpyfAj.el espectro de Planck en trminos de lalongitud de onda, a partir de/>y(V),la forma del espectro entrminos de v. La cantidad /^{Ajse define por la igualdad py(A) dk =pT (v) dv. El signo menos indica que aunquepj,(A)y/J7.(v)sonpositivas ambas dk y dv tienen signos opuestos. (Un aumento en lafrecuencia corresponde a una disminucin en la longitud deonda).

De la relacin v = c/A se tiene que dv = (c/A) dk, o bien, dvjdk= (c/A2), de manera que

dv cpT(A) = pTy)~Jj ~ P r(v)~j2

Si ahora se sustituye v = e/k en la expresin para pj>(.v)(1*27), se obtiene

s . 87rhc dkPt W dk ^c/xkT _ | (1-28)

En la figura 1-12 se muestra />ji(A)contra A para diferentestemperatuas. Al estudiar la distribucin de energa radiante comofuncin de la longitud de onda, a medida que aumenta la temperatura,se puede observar, claramente, una tendencia en la radiacin delrojo al blanco y al azul. M

A partir de la frm ula de Planck, se pueden derivar la ley deStefan y la ley del desplazamiento de W ien; si se las a justa alos resultados experimentales, se pueden de te rm inar valores paralas constan tes h y k. La ley de Stefan se ob tiene in tegrando laley de Planck en todo el espectro de longitudes de onda. Se en c ue n tra que la radiancia es proporcional a la cuar ta potencia dela tem pera tu ra , identificando la constan te deproporcionalidad27r5/;4/15c2/i3con la constan te de S tefan,or,cuyo valor, determ inado experim enta lm ente , es 5.67 X 10~8 W/ m 2-K4. La ley del desplazamiento de W ien , se obtiene haciendodp{?C)(dk 0. y se en cu en tra que Amx7' =

38 RADIACION TERMICA Y EL POSTULADO DE PLANCK Cap. I

.5X (104 )

F I G U R A 1 -1 2

Densidad de energa de Planck de la radiacin de un cuerpo negro,a varias temperaturas, como funcin de la longitud de onda. Obsrveseque la longitud de onda parala cual la curva tiene un mximo,decrese a medida que la temperatura aumenta.

0.2014h c /k \ identificndose al miembro a la derecha de laecuacin con la constan te , 2.898 X 1 0 ' m-K, dete rm inadaexperim en ta lm ente por W ien . Utilizando estos valores medidosysuponiendo un valor para la velocidad de la luz c, se puedencalcular los valores de h y k. De hecho , sto lo realiz Planck ysus valores concuerdan m uy bien con los obtenidos posterio rm entepor o tros mtodos.

1 .5 A p lic a c i n d e la le y d e r a d ia c i n d e P la n ck e n term o m etr a

La radiacin emitida por un cuerpo caliente puede utilizarse paramedir su tem pera tu ra . Si lo que se utiliza es la radiacintotal, en tonces, de la ley de Stefan-Boltzmann, se sabe que lasenergas emitidas por dos fuen tes estn en razn de la cuartapotencia de la tem pera tu ra . Sin embarg, es difcil medir laradiacin total de la mayora de las fuentes y rea lm ente , lo quese mide es la radiancia en una banda finita de longitudes de onda.En este caso se utiliza la ley de radiacin de Planck queproporciona la radiancia como funcin de la tem pera tu ra ylongitud de onda. Para radiacin m onocrom tica de longitud de ondaA la razn de intensidades espectrales emitidas por fuen tes a 7"2Ky 7*,K, est dada por la ley de Planck como:

gAc/Ar, _ j ehc/MiTt _ j

En esta expresin, si se tom a 71, ,c o m o tem p era tu ra dereferencia estndar, se puede dete rm inar T 2 relativa a la estndar, m idiendo esa razn en form a experim ental. Este es elprocedimiento empleado en la Escala In ternacional de T em pera turas Prcticas, donde se utiliza el pun to de fusin del oro, 1068C,como pun to fijo de referencia. Es decir, el pirmetro ptico estndarprimario, est diseado de modo tal, que com para la radiacin de uncuerpo negro, a

Sec 1.6 EL POSTULADO DE PLANCK Y SUS IMPLICACIONES 39

Lente Lm para Microscopio

F I G U R A 1-13

Diagrama esquemtico de un pirmetro ptico,

tem pera tu ra desconocida T > 1068C con un cuerpo negro a latem pera tu ra de fusin del oro. Dadas las c ircunstanciasprcticas, la mayora de las fuentes no son cuerpos negros y en lugarde la radiacin m onocrom tica se utiliza una banda finita delongitudes de onda, de modo que los procedim ientos de medida debenser adecuados y la teora desarrollada, para tom ar en consideracinlas c ircunstancias an teriores.

La mayora de los p irm etros pticos, utilizan el ojo hum an ocomo detector y requieren de un ancho de banda espectral su f icien tem ente amplo, de modo que se tenga la energa que el ojo puedever. El tipo de in s tru m en to ms simple y ms preciso utilizadopor encima del pun to de fusin del oro, es el p irm etro ptico confilamento desvanescente, (ver figura 1-13 ). La fuente a medirse seenfoca en el filamento de la lmpara del p irm etro , a justndose laco rrien te de la lmpara hasta que el filamento tienda adesaparecer en el fondo de la imagen de la fuente. Calibrandocuidadosam ente mediante potencim etros de precisin, se garantizanmedidas precisas de la tem pera tu ra .

En la dcada 1950, Dicke, Penzias y W ilson descubrieron un in teresan te caso particular del campo general de la te rm om etr a pormedio de radiacin de cuerpo negro. Utilizando un radio telescopioque operaba en el intervalo de longitudes de onda en tre variosmilmetros y varios cen tm etros , en co n tra ro n que un espectrode cuerpo negro, con tem pera tu ra caracterstica de 3K,incidesobre la t ie r raen todas direcciones con igual intensidad. Launiform idad en direccin indica que la radiacin llena un ifo rm emen te el universo. Los astrofsicos consideraron estas medidas comoevidencia fuerte en favor de la llamada teora de la gran explosin,en la cual, el universo consista de una bola de fuego muy densa ymuy caliente de radiacin y partculas, aproxim adam ente hace I 0 10aos. Debido a una expansin posterior y el consecuen te co rrimiento Doppler, es de esperarse que la tem pera tu ra de laradiacin d ism in u y e raa un v a lo rm u y cercano del observadode 3K.

1 .6 E l p o s tu la d o d e P la n c k y su s im p lic a c io ne s

I>a con tr ibucin de Planck se puede enunc ia r en forma depostulado, como sigue:Cualquier ente fsico con un grado de libertad, cuya coordenada es una funcin senoidal del

tiempo (es decir realiza oscilaciones armnico-simples) slo puedeposeer energas totales 8 , que satisfacen la relacin

* = n/rv n = 0 , 1, 2, 3, . . .

donde v es la frecuencia de la oscilacin y h es una constanteuniversal

1.a palabra coordenada se utiliza en su sentido ms general, paradenotar cualquier cantidad que describa la condicin ins tan tneadel ente , por ejemplo, la longitud de un resorte , la

40 RADIACION TERMICA Y EL POSTULADO DE PLANCK Cap. 1

F I G U R A 1 -1 4

Izquierda: Energas permitidas en un sistema clsico, oscilandosenoidalmente con frecuencia r, distribuidas en forma continua.Derecha: Energas permitidas distribuidas en forma discreta deacuerdo con el postulado de Planck, ya que slo pueden tener losvalores nkv. Se dice que la energa est cuantizada, siendo n elnmero cuntico del estado de energa permitido.

posicin angular de la masa de un pndulo y la amplitud de unaonda. Todos estos ejemplos tambin son funciones senoidales deltiempo.

Un modo convenien te de ilustrar el com portam iento de un en tegobernado por este postulado, es mediante un diagrama de niveles deenerga, como se m uestra en la figura 1-14, que tambin puedeutilizarse para contrastar este com portam iento con el que seesperara en base a la fsica clsica. En ese diagrama se indican cadauno de los estados de energa posibles del ente , por una lneahorizontal. La distancia de una lnea determ inada, a la lnea deenerga cero, es proporcional a la energa total que le corresponde.Como de acuerdo con la fsica clsica, el ente puede tener cualquierenerga en tre cero e infinito , el diagrama clsico de niveles deenergas consiste de un con tinuo de lneas que empiezan en cero y seextiende a valores mayores. Sin embargo, el ente que realizaoscilaciones del tipo oscilador arm nico simple, slo puede tenerenergas totales discretas, $ 0, hv, 2hv, 3 h v ..., si obedece elpostulado de Planck. En su diagrama de niveles de energa, esto seindica con un con jun to discreto de lneas. Si la energa del enteobedece el postulado de Planck, se dice que est cuantizada, losniveles de energa permitidos se llaman estados cunticos y el nm eroen te ro n se llama el nmero cuntico.

El estud ian te podra pensar que existen sistemas fsicos cuyocom portam iento est en obvio desacuerdo con el postulado dePlanck. Por ejemplo, un pndulo ordinario realiza oscilaciones detipo oscilador armnico simple y sin embargo, aparen tem ente escapaz de poseer valores con tinuos de la energa. Pero antes deaceptar este a rgum ento , se harn algunos clculos num ricos enrelacin con dicho sistema.

E je m p lo 1-6. Un pndulo que consiste de una masa de 0 .0 1Kg. suspendida de una cuerda de 0 .1 m. de longitud. Sea laamplitud desu oscilacin tal, que la cuerda en sus posicionesextremas forma un ngulo de 0 .1 rad. con la vertical. 1.a energadel pndulo decrece, por ejemplo, por efectos de friccin. Seobservar que este decremento de la energa es continuo odiscontinuo?

La frecuencia de oscilacin del pndulo es:

_ i . / E p i = , . 6 / l eg2 W / 2 ttV 0 .1 m 1 5

1.a energa del pndulo es su energa potencial mxima

mgh mgl( 1 eos 0) = 0.01 kg x 9.8 m/seg2 x 0.1 m x (1 eos 0.1)=5 x 10- 5 joule

La energa del pndulo est cuantizada, de modo que los cambios enenerga ocurren en pasos de magnitud discontinuos = hv, pero

AE = hv = 6.63 x 10-34 joule-seg x 1.6/seg = 10-33 joule

mientras que E = 5 x 10- 5 joule. Por lo tanto,AE /E = 2 x10~29-As pues, para poder medir que eldecremento de la energa esdiscreto, se necesita poder medir la energa con una precisin de 2en 1029.

Clsico(?= 0

Planck

- = 5hv - = 4 hv -& = 3Ai = 2hv

- = hv 0

PREGUNTAS 4 1

Evidentemente an el equipo experimental ms sensible, resultatotalmente incapaz para obtener dicha resolucin en la energa. ^

En conc lus in , aquellos experim entos que invo lucren pndulosord inarios , no podrn d e te rm inar si el postu lado de P lanckes vlido o no .La p e q u e ezd e h , hace q u e la g ra n u la ndad de la energa sea tan fina que no pueda dis tinguirse de un co nt in u o de energas. Ms a n , para sistemas clsicos, la h podraconsiderarse igual a cero y, de hecho , u n modo de reducir las frmulas cun ticas a sus lmites clsicos, es dejando/t 0 en estas frmulas . Solam ente cuando se consideren sis tem as en los cuales vsea tan grande y /o tan pequea que & = hv sea del orden de , seestar en condic iones de probar el postu lado de P lanck. Unejemplo es, desde luego, la radiacin de ondas estac ionarias dealta frecuencia del cuerpo negro. En los siguientes captu los seconsiderarn m uchos o tros ejemplos.

1 .7 U n p o c o d e la h is to r ia d e l q u a n tu m

El postulado de Planck, en su forma original, no tena el alcanceque tiene en la forma como aqu se ha presentado. En su trabajooriginal, Planck trat en detalle, el comportamiento de loselectrones en las paredes de un cuerpo negro y su acoplamiento a laradiacin electromagntica dentro de la cavidad. Este acoplamientoconduce al mismo factor v2 que se obtuvo en (1-1 2 ) de argumentosms generales debidos a Rayleigh y Jeans. A travs de esteacoplamiento, Planck relacionaba la energa en una componenteparticular de las frecuencias de radiacin del cuerpo negro, con laenerga de un electrn en la pared, oscilando senoidalmente a lamisma frecuencia y postul que nicamente la energa de la partculaoscilante est cuantizada. No fue sino hasta un tiempo despus, que,Planck acept la idea de que las ondas electromagnticas oscilantesestuvieran as mismo cuantizadas y el postulado se ampli paraincluir cualquier ente cuya nica coordenada oscilesenoidalmente.

En un principio, Planck no estaba seguro si*su introduccin de laconstante k no era ms que un recurso matemtico o un asunto consignificado fsico muy profundo. En una carta dirigida a R. W. Wood,Planck llam a su postulado limitado, "un acto de desesperacin1."Saba , escribi, "que el problema (del equilibrio de la materia conla radiacin) tiene una importancia fundamental para la fsica:conoca la frmula que reproduce la distribucin de energas en elespectro normal; una interpretacin terica tena que encontrarse acualquier precio, sin importar qu tan alto . Por ms de una dcada,Planck trat de ajustar las ideas cunticas a la teora clsica. Concada intento aparentaba retroceder de su osada original, perosiempre generaba nuevas ideas y tcnicas que posteriormente adopt lateora cuntica. Lo que parece ser que finalmente lo convenci d quesu hiptesis cuntica era correcta y de significado protundo.fue suapoyo a la definitividad del concepto estadstico de la entropa y ala tercera ley de la termodinmica.

Fue durante este perodo de dudas, que Planck era editor de larevista de investigacin alemana Annalen der Pkysik. En 1905 recibiel primer artculo de Einstein sobre relatividad, y valientementedefendi el trabajo de Einstein. A partir de entonces se convirti enuno de los defensores del joven Einstein en los crculos cientficos,pero resisti durante algn tiempo, precisamente aquellas ideas deEinstein, sobre la teora cuntica de la radiacin, que contribuyerona confirmar y extender el propio trabajo de Planck. La profundavisin que Einstein tena del electromagnetismo y la mecnicaestadstica, que posiblemente no fue igualada por sus contemporneos,le permiti predecir, como resultado del trabajo de Planck, lanecesidad de un cambio general en la mecnica estadstica y elelectromagnetismo. Muchos fenmenos fsicos fueron predichos einterpretados anticipadamente los cuales posteriormente fuerondramticamente confirmados experimentalmente. En el siguientecaptulo se tratar uno de estos fenmenos y se seguir otro caminorumbo a la mecnica cuntica.

P R E G U N T A S

1 . Un cuerpo negro siempre se ve negro? Explique el trminocuerpo negro.

2. En un fuego hecho con carbn, los huecos que quedan entrecarbones se ven ms brillantes que los

42 RADIACION TERMICA Y EL POSTULADO DE PLANCK Cap. 1

carbones mismos. Ser la temperatura de dichos huecos,apreciablemente mayor que la correspondiente a la superficieexterior de un carbn incandescente?

3. Si se observa dentro de una cavidad cuyas paredes semantienen a una temperatura constante, es visible algn detalle delinterior? Expliqese.

4. La relacin R ? = oT* es exacta para cuerpos negros y semantiene a toda temperatura. Porqu no se utiliza esta relacin comobase para una definicin de temperatura, por ejemplo, 1 0 0 C?

5. Un pedazo de metal se pone incandescente con un color rojobrillante a 1100K. Sin embargo, a esta misma temperatura, un pedazode cuarzo simplemente no brilla. Explique. (Sugerencia: el cuarzoes transparente a la luz visible).

6 . Haga una lista de las funciones de distribucin que mscomnmente se usan en las ciencias sociales (es decir, distribucinde familias respecto de sus ingresos). En cada caso, especifique sila variable de la distribucin descrita es discreta o continua.

7. En (1-4) se relacionan radiancia espectral y densidad deenerga, qu unidades deber tener la constante deproporcionalidad?

8 . Cul es el origen de la catstrofe ultravioleta?

9. La ley de equiparticin de la energa requiere que el calorespecfico de los gases sea independiente de la temperatura, endesacuerdo con la experimentacin. Aqu se ha visto que conduce a laley de radiacin de Rayleigh-Jeans, que tambin est en desacuerdo conla experimentacin, se pueden relacionar estas dos fallas de la leyde equiparticin?

10. Comparar las definiciones y dimensiones de radianciaespectral, RT ( VX radiancia, R T , y densidad de energa pT(v)'

11. Por qu se utiliza la pirometra ptica por arriba del punto defusin del oro y no por abajo de l? En qu objetos se mide tpicamentela temperatura de este modo?

12. Existen cantidades cuantizadas en fsica clsica? Estcuantizada la energa en fsica clsica?

13. Tiene sentido hablar en fsica de cuantizacin de carga? En qusentido difiere de la cuantizacin de la energa?

14. Las partculas elementales parecen tener un conjunto discretode masas en reposo. Se puede sto considerar como cuantizacin demasa?

15. En muchos sistemas clsicos las frecuencias permitidas estncuantizadas. Mencione algunos de dichos sistemas. Tambin secuantiza la energa?

16. Demuestre que la constante de Planck tiene dimensiones deimpulso angular. Sugiere sto, necesariamente, que el impulsoangular es una cantidad cuantizada?

17. Cul deber ser el orden de magnitud mnimo de h , para que losefectos cunticos sean efectos cotidianos?

18. La radiacin universal de cuerpo negroa3K, qu puede decir, siacaso, de la temperatura del espacio exterior?

19. La teora de Planck sugiere estados de energa atmicoscuantizados?

20 . Discutir el hecho sorprendente de que la discresin de laenerga se descubri, por primera vez, al analizar el espectrocontinuo emitido por tomos interactuantes en un slido, en lugar deencontrarlo en el anlisis de un espectro discreto tal como elemitido por un tomo aislado en un gas.

PROBLEMAS 43

P R O B L E M A S

1 . A qu longitud de onda, una cavidad a 6000K radiar ms porunidad de longitud de onda?

2 . Demuestre que la constante de proporcionalidad en (1-4) es4/C. Es decir, demuestre que la relacin entre la radianciaespectral R T (v) y la densidad de energa pT {v) es dv = (c]4)pT(v) dv.

3. Considere dos cavidades de forma y material arbitrarios, cadauna a la misma temperatura T, conectadas por un tubo angosto en elque se pueden colocar filtros de colores (supuestamente ideales)que permitirn el paso de radiacin de una sola frecuencia V. (a)Suponga que para cierta frecuencia v \ pT (v') para la cavidad 1,resulta mayor que pj'(v') dv para la cavidad 2. Se coloca un filtroen el tubo interconector, que slo deja pasar la frecuencia v.Analice qu suceder en trminos de flujo de energa, (b) Qu pasar consus temperaturas respectivas, (c) Demuestre que esto violara lasegunda ley de la termodinmica; por lo tanto, pruebe que todos loscuerpos negros a la misma temperatura emitirn radiacin trmica conel mismo espectro, independientemente de su composicin.

4. Un radiador de cavidad, tiene un agujero de 10.0 mm. dedimetro que se perfor en una pared. Encuentre la potencia radiada atravs del agujero, en el intervalo entre 5500- 5510 . (Sugerencia:ver el problema 2 ).

5. (a) Suponiendo que la temperatura en la superficie del sol es5700K, utilice la ley de Stefan, (1-2), para determinar la masa enreposo que se pierde por segundo en la radiacin del sol. Tome eldimetro del sol como 1.4 X 109 m. (b) Qu fraccin de la masa enreposo del sol, se pierde cada ao en radiacin electromagntica?Suponga que la masa en reposo del sol es 2.0 X lO^kg.

6 . En una explosin termonuclear, la temperatura en la bola defuego es, momentneamente, 10? K. Encuentre la longitud de onda parala cual la radiacin emitida es mxima.

7. A una temperatura dada . = 6500 para una cavidad de cuerponegro. Cul ser si la temperatura de las paredes de la cavidadaumenta de modo que la razn de emisin de radiacin espectral seduplica?

8 . A qu longitud de onda emite el cuerpo humano su radiacintrmica mxima? Haga una lista de las hiptesis que se hagan parallegar a una respuesta.

9. Suponiendo que ^Jll(jx est en el infrarrojo carcano paracalor rojo, y en el ultravioleta cercano para calor azul. En la leydel desplazamiento de Wien aproximadamente, qu temperaturacorresponder al calor rojo? Al calor azul?

1 0 . La razn promedio de radiacin solar que incide sobre latierra, por unidad de rea es 0.485 cal/cm2- min (o 355 W /m 2). (a)Explique la consistencia de este nmero con la constante solar(energa solar que llega a la tierra por unidad de tiempo incidiendonormal a una unidad de rea de la superficie terrestre) cuyo valores 1.94 cal/cm2-min (o 1340 W /m 2). (b) Considere la tierra comoun cuerpo negro que rada energa al espacio en esta misma razn. Culsera la temperatura de la superficie de la tierra bajo estascircunstancias?

1 1 . Demuestre que la ley de radiacin de Rayleigh-Jeans.(1-17), no es consistente con la Ley del desplazamiento de Wienvmax oC T, (l-3a), o Amax T = const, (l-3b).

12. A partir del espectro del cuerpo negro, se puede obtener dedpT (v)/dv = 0 y Aniax de dpT {X)d?. = 0. Por qu a partir de Am' xT const O vmaj. = const x T no es posible obtenerlas si se utilizasimplemente Ajnax = c/vmax ? Es decir, por qu es errneo suponerque>ma;.A1UftX = c, donde c es la velocidad de la luz?

13. Considere los nmeros siguientes: 2, 3, 3, 4, 1, 2, 2, 1, 0,como representando el nmero de cuadrangulares, logrado por cadamiembro de los Orioles de Baltimore en un juego reciente, (a)Calcular directamente el nmero promedio de cu adranguiar es porhombre, (b) Sea x una variable que

44 RADIACION TERMICA Y EL POSTULADO DE PLANCK Cap. 1

especifica el nmero de cuadrangulares obtenidos por un hombre, ysea f(x) el nmero de veces que el nmero x aparece. Demuestre que elnmero promedio de cuadrangulares por hombre se puede escribircomo

! > / ( * )o* = 4-------

/o*)0(c) Sea p(x) la probabilidad de obtener el nmero x.Demuestre que x est dado por

(x)dx J = x x

14. Considere la funcin

/ ( * ) = ( 1 * ) 2 0 ^ x ; 1 0

f ( x ) = 0 para cu a lq u ie r o tra x(a) A partir de

CO

j x f (x ) dx_ O* = 5----------J f ( x ) d x

00

encuentre el valor promedio de x. (b) Suponga que la variable xes discreta en lugar de continua. Adems, Ax = 1, de modo que x slotoma valores enteros 0, 1, 2,..., 10. Calcule x y comprelo con elresultado de la parte (a). (Sugerencia: puede ser ms fcil calcularla suma apropiada directamente, en lugar de trabajar con frmulasgenerales de sumas), (c) Calcule x para Ax = 5, es decir x = 0,5,10 . Comprelo con el resultado de la parte (a), (b) Obtenga analogasentre los resultados obtenidos en este problema y el anlisis de laseccin 1-4. Asegrese de entender los papeles que juegany P(

22 . 1

2.2

2 . 3

2 . 4

2 . 5

2.6

2 . 7

Fotones-Propiedades corpusculares de la

radiacin

In trodu ccin 4 7

In teraccin de radiacin con materia.

El efecto fo toelctrico 4 7

Potencia! de frenam ien to ; f recuencia de corte; ausenc ia detiempo de retraso.

T eora cuntica de E in stein del efecto fo toelctrico 5 0

Fotones; cuantizacin de la energa de! fo tn ,func in de trabajo;reevaluacin de la co n s tan te de Planck; espectro e lectromagntico; conservacin del impulso.

El efecto C om pton 5 5

Corrim ien to Com pton; derivacin de las ecuaciones de Com pton;longitud de onda de C om pton ; dispersin de T hom son ; competencia en tre las dispersiones T hom son y Com pton.

Naturaleza dual de la radiacin electrom agntica 61

Difraccin; desdoblamiento de personalidad de la radiacinelectrom agntica; acti tud con tem pornea de los Fsicos.

F otones y em isin de rayos X 6 2

Emisin de rayos X; brem sstrah lung ; relacin de b rem sstrahlung a efecto fo to elctrico.

P rod u ccin y an iq